FAV-ZCU/KMA M1/2. Posloupnosti.md

# Posloupnosti

**Posloupnost reálných čísel** je zobrazení s definičním oborem $\mathbb{N}$ a oborem hodnot $H \subset \mathbb{R}$, tj. každému indexu $n \in \mathbb{N}$ je přířazen právě jeden člen $a_{n} \in \mathbb{R}$.

Možné zápisy pro posloupnost:
- $\displaystyle (a_{n}), \quad (a_{n})_{n=1}^{+\infty}, \quad (a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots), \quad (a_{n})_{n\in \mathbb{N}}$.

### Zadání

| typ                     | příklad                                                       |
| ----------------------- | ------------------------------------------------------------- |
| explicitní              | $a_n = 2n$                                                    |
| implicitní (rekurentní) | $\begin{cases} a_{n+1} = a_n + 2 \newline a_1 = 2\end{cases}$ |
| graf posloupnosti       | $(n, a_{n})$                                                  |

### Omezenost

Posloupnost $(a_n)$ s oborem hodnot $H$ je omezená (zdola, shora), je-li množina $H$ omezená (zdola, shora).

| značení | typ                     | podmínka                                                                        | příklad   |
| ------- | ----------------------- | ------------------------------------------------------------------------------- | --------- |
| **OZ**  | omezená zdola           | $\exists \, d \in \mathbb{R} \quad \forall \, n \in \mathbb{N} : d \leq a_{n}$  | $(n-8)^2$ |
| **OS**  | omezená shora           | $\exists \, h \in \mathbb{R} \quad \forall \, n \in \mathbb{N} : a_{n} \leq h$  | $4-n$     |
| **O**   | omezená (shora i zdola) | $\exists \, c > 0 \quad \forall \, n \in \mathbb{N} : \vert a_{n} \vert \leq c$ | $(-1)^n$  |

### Minimum, maximum, infimum a supremum

Minimem (max, inf, sup) posloupnosti $(a_n)$ s oborem hodnot $H$ je minimem (max, inf, sup) množiny $H$.

### Monotonie

Řekněme, že posloupnost $(a_n)$ je

| značka | typ             | podmínka                                                      |
| ------ | --------------- | ------------------------------------------------------------- |
| **R**  | rostoucí        | $\displaystyle \forall n \in \mathbb{N} \quad a_{n+1} \geq a_n$ |
| **K**  | klesající       | $\displaystyle \forall n \in \mathbb{N} \quad a_{n+1} \leq a_n$ |
| **OR** | ostře rostoucí  | $\displaystyle \forall n \in \mathbb{N} \quad a_{n+1} > a_n$  |
| **OK** | ostře klesající | $\displaystyle \forall n \in \mathbb{N} \quad a_{n+1} < a_n$  |
| **M**  | monotónní       | je klesající nebo rostoucí                                    |
| **OM** | ostře monotónní | je ostře klesající nebo ostře rostoucí                        |

#### Zjištění monotonie
1) Tipnu a ověřím
2) Otazníčková metoda

## Limita

### Vlastní limita

Posloupnost $(a_n)$ má vlastní limitu $a \in R$, pokud
$$\displaystyle \forall \, \epsilon \in \mathbb{R} > 0 \quad \exists \, n_{0} \in \mathbb{N} \quad \forall \, n \in \mathbb{N} : n > n_{0} \implies |a_{n} - a| < \epsilon.$$

Píšeme
- $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n} = a$
- $a_{n} \to a$

Pozn.: $a - \epsilon < a_{n} < a + \epsilon$
- Pro jakoukoli šířku pásma existuje standardní hodnota, všechna následující $n$ mají $a_n$ uvnitř $\epsilon$-pásem

### Nevlastní limita

Posloupnost $(a_n)$ má nevlastní limitu $+\infty$, pokud
$$\displaystyle \forall \, h > 0 \quad \exists \, n_{0} \quad \forall \, n \in N : n > n_{0} \implies a_{n} > h$$
$$\displaystyle \forall \, d < 0 \quad \exists \, n_{0} \quad \forall \, n \in N : n > n_{0} \implies a_{n} < d$$

Píšeme
- $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n} = +\infty$ nebo $a_{n} \to +\infty$
- $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n} = -\infty$ nebo $a_{n} \to -\infty$

### Jednoznačnost limity

Každá posloupnost má nejvýše 1 limitu.

### Algebra vlastních limit

Nechť $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n} = a$ a $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } b_{n} = b$, pak
1) $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } (\alpha \cdot a_{n} + \beta \cdot b_{n}) = \alpha \cdot a + \beta \cdot b$, pokud je pravá strana definována,

2) $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } (a_{n} \cdot b_{n}) = a \cdot b$, pokud je pravá strana definována,

3) $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } (\frac{a_{n}}{b_{n}}) = \frac{a}{b}$,  pokud $b_{n} \neq 0$ pro všechna $n \in N$ a pokud je pravá strana definována.

### Věta o sevření

Mějme dány posloupnosti $(a_{n}), (b_{n}), (c_{n})$ a předpokládejme, že platí
1) $\exists \, n_{o} \in \mathbb{N} \quad \forall \, n \in \mathbb{N} : n > n_{0} \implies a_{n} \leq b_{n} \leq v_{n}$,
2) $\displaystyle\lim_{ n \to \infty }{a_{n}} = \lim_{ n \to \infty }{c_{n}} = a \in \mathbb{R}^*$.

Potom *sevřená* posloupnost $(b_{n})$ má také limitu a platí $\displaystyle\lim_{ n \to \infty }{b_{n}} = a$.

## Eulerovo číslo

Eulerovo číslo $e$ je definováno jako $\displaystyle e = \lim_{ n \to \infty } \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n = \vert\text{"NV }1^\infty\text{"}\vert$.
- alternativní definice: $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}$

## Konvergence a divergence

Řekněme, že posloupnost $(a_n)$ je

| značka | typ                     | podmínka                         |
| ------ | ----------------------- | -------------------------------- |
| **K**  | konvergentní            | má-li vlastní / konečnou limitu  |
| **D**  | divergentní             | není-li konvergentní             |
|        | divergentní k $+\infty$ | má-li nevlastní limitu $+\infty$ |
|        | divergentní k $-\infty$ | má-li nevlastní limitu $-\infty$ |

### Omezenost a limity

1) Je-li posloupnost konvergentní (**K**), pak je i omezená (**O**).

2) Diverguje-li posloupnost k $+\infty$, pak je omezená pouze zdola (**OZ**).

3) Diverguje-li posloupnost k $-\infty$, pak je omezená pouze shora (**OS**).

Dále také
1) Je-li $(a_n)$ monotónní (**M**) a omezená (**O**), pak je i konvergentní (**K**).

2) Je-li $(a_n)$ rostoucí (**R**) a omezená (**O**), pak $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n} = sup \, a_{n}$ a $min \, a_{n} = a_{1}$.

3) Je-li $(a_n)$ klesající (**K**) a omezená (**O**), pak $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n} = inf \, a_{n}$ a $max \, a_{n} = a_{1}$.

### Sčítání, násobení a dělení na množině $\mathbb{R}^*$

1) $\forall \, x \in \mathbb{R}^* \setminus \set{ +\infty } : \quad -\infty + x = x + (-\infty) = -\infty$,
2) $\forall \, x \in \mathbb{R}^* \setminus \set{ -\infty } : \quad +\infty + x = x + (+\infty) = +\infty$,
3) $\forall \, x \in \mathbb{R}^*, x > 0 : \quad x \cdot (\pm \infty) = \pm \infty$,
4) $\forall \, x \in \mathbb{R}^*, x < 0 : \quad x \cdot (\pm \infty) = \mp \infty$,
5) $\displaystyle\forall \, x \in \mathbb{R} : \quad \frac{x}{\pm \infty} = 0$.

**Poznámka**: Operace sčítání, násobení a dělení nejsou definovány pro všechny dvojice z $\mathbb{R}^*$:
1) $(+\infty) - (+\infty), (-\infty) - (-\infty), (+\infty) + (-\infty), (-\infty) + (+\infty)$,
2) $0 \cdot (+\infty), (+\infty) \cdot 0, 0 \cdot (-\infty), (-\infty) \cdot 0,$
3) $\displaystyle\frac{+\infty}{+\infty}, \frac{-\infty}{-\infty}, \frac{-\infty}{+\infty}, \frac{+\infty}{-\infty}$,
4) $\displaystyle\frac{x}{0}, x \in \mathbb{R}^*$.