FAV-ZCU/KMA LAA/2. Matice.md

# Matice

Maticí **typu m/n** nazveme soubor (tabulku) m x n prvků (čísel) $a_{ij}$ zapsaných do **m řádků** a **n sloupců**.

| značení    | význam                     |
| ---------- | -------------------------- |
| $(i, j)$ | pozice v matici            |
| $a_{ij}$   | prvek na pozici $(i, j)$ |
| $i$        | řádkový index              |
| $a_{kk}$   | diagonální prvek matice    |
| $m/n$        | typ matice: $m$ řádků, $n$ sloupců                           |

## Názvy matic

### Tvarové
- **Čtvercová matice**
	- mají stejný počet řádků a sloupců                           
- **Obdélníková matice**
	- rozdílný počet řádků a sloupců
- **$m$-složkový sloupcový vektor**
	- matice typu $m/1$ (jeden sloupec)
- **$n$-složkový řádkový vektor**
	- matice typu $1/n$ (jeden řádek)

### Další
- **Nulová matice**
	- matice typu $m/n$ plná nul, značíme 0
	- $A_{ij} = 0$
	$$\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$
- **Diagonální matice**
	- čtvercová matice s nenulovými čísly pouze na hlavní diagonále
	- pro $i \neq j : A_{ij} = 0$
	$$diag\{1, -3, 0\} = A = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$
- **Jednotková matice**
	- diagonální matice s 1 na hlavní diagonále
	- pro $i \neq j : a_{ij} = 0, a_{ii} = 1$
	$$I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$
- **Symetrická matice**
	- čtvercová matice, kde se $a_{ij}$ rovná $a_{ji}$
	- $\forall i, j : a_{ij} = a_{ji}$
	$$A_{1} = \begin{bmatrix} 1 & \underline{2} & \underline{1} \\ \underline{2} & 1 & \underline{0} \\ \underline{1} & \underline{0} & 3 \end{bmatrix}$$
- **Antisymetrická matice**
	- čtvercová matice, kde se $a_{ij}$ rovná $-a_{ji}$
	- na hlavní diagonále musí mít nuly, protože $0 = -0$
	- $\forall i, j : a_{ij} = -a_{ji}$
	$$A_{2} = \begin{bmatrix} 0 & \underline{2} & \underline{-1} \\ \underline{-2} & 0 & \underline{3} \\ \underline{1} & \underline{-3} & 0 \end{bmatrix}$$
	- **Poznámka**: V antisymetrické matici jsou všechny prvky $a_{ii} = 0$
- **Horní a dolní trojúhelníková matice**
	- Pro H platí pro všechna $i > j$, že $a_{ij} = 0$ 
	- Pro D platí pro všechna $i < j$, že $a_{ij} = 0$
	$$H = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix} \quad D = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}$$

### Operace

- **Rovnost**
	- $A = B$ pokud všechny $a_{ij} = b_{ij}$
- **Opačná matice**
	- matice $[-a_{ij}]$ značená $-A$ je opačná matice k matici $A$
- **Transponovaná matice**
	- matice $a_{ji}$ typu $n/m$ značená $A^T$ je transponovaná k matici $a_{ij}$ typu $m/n$ značené $A$
	$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ \ \ A^T = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}$$
	- z toho plyne:
		- $A$ je symetrická, právě když $A = A^T$
		- $A$ je antisymetrická, právě když $A = -A^T$
		- $(A^T)^T = A$
- **Sčítání a odčítání**
	- sčítáme/odčítáme prvky na stejných pozicí
- **Násobení konstantou**
	- vynásobíme všechny členy konstantou
- **Násobení dvou matic**
	- nekomutativní
	- pouze když násobíme matici $A_{m/\underline{n}}$ maticí $B_{\underline{n}/p}$
	- výsledná matice bude $C_{m/p}$

### Pivot

**Pivotem** v řádku $i$ je první nenulové číslo v tomto řádku zleva.

#### Matice ve stupňovitém tvaru

Matice **A**, kde pro každý řádek platí:
1. Je-li v $i$-tém řádku pivot na pozici $j$, ve všech dalších řádcích je na pozici $j' > j$.
2. Je-li řádek nulový, každý další je také nulový.